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\hyphenation{Like-li-hood}

\title{Korrekturen Einführungsskript 2007}

\author{P.~Schäfer\\
Institut für Physik, Humboldt-Universität zu Berlin, \\
Newtonstraße 15, 12489 Berlin}

\date{\today}

\begin{document}

\maketitle
\begin{itemize}
\item Die erste Gleichung auf Seite 31 des \citeasnoun{einfuehrung} ist
  fehlerhaft. Richtig lautet die Gleichung:
  \begin{displaymath}
    s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n \left( x_i - \overline{x} \right)^2}
  \end{displaymath}  

\item Auf der gleichen Seite muss die Gleichung in der Abbildung 12 im
  Kasten $ n \ge 6 $ richtig lauten:
  \begin{displaymath}
    e_z = \overline{s} = \sqrt{\frac{1}{n(n-1)}\sum_{i=1}^n  v_i^2}
  \end{displaymath}  

%% notwendig:
%% Kommentar zu Seite 34 sinnvolles Runden DIN 1333
%% Anmerkung zur Tabelle auf Seite 40 (Funktionen zur Linearisierung) 

\item Die Gleichung 45 auf Seite 42 ist nur unter ganz bestimmten
  Bedingungen gültig, da sie über die Fehlerfortpflanzung hergeleitet
  wurde. Damit sie angewendet werden kann, müssen die Messdaten
  beziehungsweise die Messunsicherheiten $s_i$ eine Reihe von
  Anforderungen erfüllen:
  \begin{enumerate}
  \item Die Messunsicherheiten $s_i$ sind echte, experimentell bestimmte
    Messunsicherheiten, die zum Beispiel durch mehrfache
    Wiederholungsmessung an der jeweiligen Messstelle $x_i$ ermittelt
    wurden. Als Werte $y_i$ sind dann die jeweiligen Mittelwerte zu
    verwenden.
  \item Die Verteilungsfunktion der Messunsicherheiten an jeder
    Messstelle $x_i$ ist eine Normalverteilung mit dem Erwartungswert $0$
    und der Varianz $s_i^2$.
    %% Numerical Recipes Chapter 15.1. page 776
  \item Die Messunsicherheiten der einzelnen Messstellen sind
    unkorreliert, die Kovarianzmatrix $\bm{\Sigma}$ der Messwerte $y_i$
    ist eine Diagonalmatrix.
    \begin{displaymath}
      \bm{\Sigma} =\left( \begin{array}{llll}
      s_1^2  & 0      & \cdots & 0 \\
      0      & s_2^2  & \cdots & 0 \\
      \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
      0      & 0      & \cdots & s_n^2 \\
                \end{array} \right)
    \end{displaymath}
  \item Die Modellfunktion ist linear in den Parametern und die
    Basisfunktionen sind an den gegebenen Messpositionen $x_i$ linear
    unabhängig. Dieser Punkt ist beim hier betrachteten
    Geradenausgleich (ein Spezialfall der linearen Regression) erfüllt.  
  \end{enumerate}
  Unter diesen Voraussetzungen genügt die Summe der Abweichungsquadrate
  \begin{displaymath}
    \chi^2=\sum_{i=1}^n \left(\frac{y_i-a\;x_i-b}{s_i}\right)^2
  \end{displaymath}
  einer $\chi^2$-Verteilung mit dem Erwartungswert $\nu = n - p$ und der
  Varianz $2\,\nu$. Die Anzahl der Parameter $p$ ist im Fall des
  hier beschriebenen einfachen Geradenausgleichs gleich 2. $\nu$ gibt
  die Anzahl der Freiheitsgrade (degrees of freedom, oftmals
  abgekürzt mit dof) an. Der Wert von $\chi^2/\nu$ kann unter den oben
  genannten und nur unter diesen Bedingungen als ein Test für die Güte
  der Anpassung des Modells, in diesem Fall eine Gerade, an die Daten
  genutzt werden. Liegt der Wert von $\chi^2/\nu$ im Intervall
  $1 - \sqrt{2/\nu} \dots 1 + \sqrt{2/\nu}$ kann das gewählte Modell,
  hier die Gerade, vom Standpunkt der klassischen Statistik nicht
  verworfen werden (\citeasnoun{Hogg} Anmerkung 32). Dieser Test
  besticht durch seine Einfachheit, ist aber nicht unproblematisch
  (siehe dazu: (\citeasnoun{ReducedChiSquared}).
  %% siehe Numerical Recipes Chapter 15.1.1 Page 778 -780
  
  In vielen Fällen ist im Praktikum die 1.\,Forderung an die Messdaten
  nicht erfüllt, man kann aber davon ausgehen, dass die
  Messunsicherheiten an allen Messstellen mit der gleichen Varianz
  $s = s_1 = s_2= \cdots = s_n$ 
  beschreiben werden. Diese ist damit auch unabhängig von der Größe des
  Messwerts $y_i$. Dies ist zum Beispiel beim Ablesen auf einer
  einfachen Längenskala (Büromaßstab, Stahllineal, Spiegelskala) der
  Fall. Dann können die Gleichungen 49 und 50 auf Seite 42 angewandt
  werden, wobei für die unbekannte Varianz $s$ der Messunsicherheit
  deren Schätzwert
  \begin{displaymath}
    \widehat{\sigma^2} = \frac{1}{n-p}\sum_{i=1}^n \left(y_i-a\;x_i-b\right)^2
  \end{displaymath}  
  zu verwenden ist.

  Ist davon auszugehen, dass die unbekannten Messunsicherheiten an den
  einzelnen Messstellen deutliche verschieden sind, oder dass die
  Messunsicherheiten eine deutliche Abhängigkeit vom gemessen Wert
  erwarten lassen, ist die obige Annahme der Gleichheit der Varianzen
  $s_i$ nicht mehr gegeben. Die Methode der linearen Regression
  erfordert in diesem Fall die Einführung von Gewichten $w_i$. Es wird
  das Minimum der Größe 
  \begin{displaymath}
    \chi^2=\sum_{i=1}^n w_i \left(y_i-a\;x_i-b \right)^2
  \end{displaymath}
  bestimmt. Für die Festlegung der Gewichte gibt es eine Vielzahl
  verschiedener Möglichkeiten (siehe dazu \citeasnoun{Strutz}, Chapter
  3). In einigen Fällen liegen Informationen darüber vor, wie sich die
  einzelnen Messunsicherheiten relativ zueinander verhalten. Dies ist
  z.B. bei Messungen mit elektrischen oder elektronischen Messgeräten,
  die über mehrere verschiedene Messbereiche verfügen, der Fall
  (\citeasnoun{einfuehrung} Seite 19 ff.). An Hand der zu den
  einzelnen Messbereichen angegebenen Messunsicherheiten $s_i$ können
  die Gewichte $w_i = C/s_i^2$ festgelegt werden. Hierbei ist $C$ eine
  willkürlich festlegbare Konstante. Diese Vorgehensweise
  ist analog zu der im Abschnitt 3.8 (Seite 47) beschriebenen Gewichtung
  für die Bildung eines gewichteten Mittelwertes. In vielen Fällen
  erhalten so alle im selben Messbereich gemessenen Werte jeweils das
  gleiche Gewicht. In all den Fällen, in denen die Parameter $a$ und $b$
  unter Anwendung einer Gewichtung, berechnet wurden, lautet die
  Gleichung 45 auf Seite 42 richtig:
  \setcounter{equation}{44}
  \begin{equation}
    s_a=\pm \sqrt{\widehat{\sigma^2} \frac{1}{D} \sum_{i=1}^n w_i}
    \mbox{ und }
  s_b=\pm \sqrt{\widehat{\sigma^2} \frac{1}{D} \sum_{i=1}^n w_i\,x_i^2} 
  \end{equation}  
  In diesem Fall ist für die unbekannte Varianz deren Schätzwert 
  \begin{displaymath}
    \widehat{\sigma^2} = \frac{1}{n-2} \sum_{i=1}^n w_i\,\left(y_i-a\;x_i-b\right)^2
  \end{displaymath}
  zu verwenden. Der mathematische Hintergrund kann in \citeasnoun{anmerkungen}
  und \citeasnoun{Martin} (Seite 149 -151 Chapter 8.1.2 insbesondere Gleichung 8.33)
  nachgelesen werden. Damit die so bestimmten Fehlerintervalle richtig
  sind, ist die Erfüllung der beiden oben benannten Forderungen nach
  Normalverteilung der unbekannten Messunsicherheiten und dass die
  einzelnen Messunsicherheiten unkorreliert sind zwingend notwendig
  (siehe hierzu \citeasnoun{ErrorEstimation}). 

\item Aus dem selben Grund ist die Gleichung 48 auf der Seite 42 nicht
  vollständig. Es gilt hier analog das oben Gesagte. Im Falle einer
  vorgenommenen Gewichtung lautet die vollständige Gleichung:
  \setcounter{equation}{47}
  \begin{equation}
    a = \frac{\sum\limits_{i=1}^n w_i\,x_i\,y_i}{\sum\limits_{i=1}^n w_i\,x_i^2}
    \mbox{ und } s_a = \pm \sqrt{\widehat{\sigma^2}
      \frac{1}{\sum\limits_{i=1}^n \,w_i\,x_i^2}}
  \end{equation}
  mit
  \begin{displaymath}
    \widehat{\sigma^2} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n w_i\,\left(y_i-a\,x_i\right)^2
  \end{displaymath}  

\item An den oben aufgestellten Anforderungen an die Kenntnisse über
  die Messunsicherheiten ist leicht zu erkennen, dass der auf Seite 43
  als sehr selten eingestufte Fall, dass nicht ausreichend Informationen
  über die Messunsicherheiten vorliegen, im Praktikum eigentlich der
  Normalfall ist. Die Messunsicherheiten werden lediglich
  abgeschätzt. Über deren Verteilungsfunktion liegen bestfalls
  Vermutungen oder wage Annahmen vor.

\item Für die Berechnung des Kovarianzterms in der  Varianz-Kovarianz
  Matrix (Gleichung 54 auf Seite 43) gilt das gleiche wie für die
  Berechnung der Varianzen der Parameter $a$ und $b$ (Gleichung 45 auf
  Seite 42). 

\item Zu der Abbildung 14 auf Seite 46 ist eine Anmerkung erforderlich. Da
  hier im Praktikum allgemein mit $1\,\sigma$ Unsicherheiten gerechnet wird,
  kann man nicht erwarten, dass die Regressionsgerade durch alle
  Unsicherheitsintervalle verläuft. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein
  gemessener Wert im Intervall 
  $\left[\bm{\mathrm{E}}[y]-\sigma\;,\;\bm{\mathrm{E}}[y]+\sigma\right]$ liegt,
  beträgt 68.3\%.  Damit ist es durchaus normal, wenn etwa ein Drittel
  der Unsicherheitsintervalle von der Modellkurve nicht geschnitten
  werden. Nur wenn ein sehr hohes Konfidenzniveau verwendet wird, zum
  Beispiel $3\,\sigma$-Intervalle, sollte die Regressionsgerade alle
  Intervalle schneiden.

\item Zum Abschnitt 3.8 \glqq{}Gewichtetes Mittel\grqq{} (Seite 47)
  sind einige ergänzende Bemerkungen notwendig. Die Formel für $u_g$
  in Gleichung 56 
  \begin{eqnarray*}
    u_g &=&
    \pm\;\frac{\sqrt{\sum\limits_{j=1}^k\;\left(p_j\;u_j\right)^2}}{\sum\limits_{j=1}^k\;p_j}
    \mbox{ mit } p_j = \frac{C}{u_j^2}\\
    &=&
    \pm\;\frac{\sqrt{\sum\limits_{j=1}^k\;\left(\frac{C}{u_j}\right)^2}}{\sum\limits_{j=1}^k\frac{C}{u_j^2}}
    =
    \pm\;\frac{1}{\sqrt{\sum\limits_{j=1}^k\frac{1}{u_j^2}}}
  \end{eqnarray*}  
  liefert immer einen Wert für $u_g$, der kleiner ist, als der
  kleinste Wert von $u_j$. Die Anwendung dieser Formel setzt voraus, dass
  alle Werte $\mean{x_j}$ als Ergebnis jeweils einer Stichprobe aus der
  gleichen Grundgesamtheit angesehen werden können. Auf diesen Umstand
  wird in in der Herleitung in \citeasnoun{bevington} (Chapter 4,
  Seite 56) ausdrücklich hingewiesen. Nur wenn alle Unsicherheiten
  einen gemeinsamen Bereich überdecken, kann davon ausgegangen werden,
  dass diese Voraussetzung erfüllt ist. Nach \citeasnoun{James}
  (Chapter 11.5.2, S 323-325) lässt sich mit:  
  \begin{displaymath}
    \sum_{i=j}^k\;\frac{1}{u_j^2}\;(\mean{x}_j-\mean{x}_g)^2 < \lambda_\alpha
  \end{displaymath}
  testen, ob diese Voraussetzung erfüllt ist. Dabei ist
  $\lambda_\alpha$ das Quantil der $\chi^2$-Verteilung mit $k-1$
  Freiheitsgraden für das Signifikanzniveau $\alpha$. Für das im
  Praktikum benutzte Signifikanzniveau $\alpha = 68,3\%$ gilt
  $\lambda_\alpha \approx k-1$.  
  Wenn diese Testbedingung erfüllt ist, wird das mit Gleichung 55
  bestimmte gewichtete Mittel in dem Bereich liegen, der von allen
  Unsicherheitsintervallen überdeckt wird und dessen Unsicherheit kann
  mit Gleichung 56 berechnet werden. Das in Abbildung 15 gezeigte
  Beispiel erfüllt diese Voraussetzung nicht. Die
  Unsicherheitsintervalle überdecken sich nur paarweise. Unter solchen 
  Bedingungen führt die Anwendung der Gleichung 56 zu einem falschen
  Ergebnis.
  
  Soll aus Messungen der gleichen physikalischen Größe, die mit
  unterschiedlichen Messmethoden bestimmt wurden und damit nicht
  als der gleichen Grundgesamtheit entstammend angesehen werden
  können, ein Gesamtergebnis ermittelt werden, muss man die Streuung
  der einzelnen Werte mit berücksichtigen. Dies ist zum Beispiel beim
  Versuch {\bf E12} \glqq{}Elektronen in Feldern\grqq{} der Fall. Hier
  wird die spezifische Ladung $e/m$ des Elektrons mit drei
  verschiedenen Methoden bestimmt.  
  
  Das gewichtete Mittel kann genauso wie die lineare Regression als
  ein spezieller Fall des allgemeinen linearen Modells 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\footnote{ Zum allgemeinen linearen Modell siehe: \citeasnoun{anmerkungen}.\\
  Um das gewichtete Mittel über den Vektor 
  \begin{displaymath}
    \bm{y} = \left( \begin{array}{l}
      y_1 \\
      y_2 \\
      \vdots \\
      y_n \\
    \end{array} \right)
  \end{displaymath}
  zu bestimmen, stellt man ein allgemeines lineares Modell mit nur
  einem Parameter $\theta_1$  
  \begin{displaymath}
    \bm{\theta} = \left( \begin{array}{l} \theta_1\\ \end{array}\right)
  \end{displaymath}
  und der der $n \times 1$ Design-Matrix
  \begin{displaymath}
    \bm{A}=\left( \begin{array}{l}
      1 \\
      1 \\
      \vdots  \\
      1 \\
    \end{array} \right)
  \end{displaymath}
  auf. Die Unsicherheiten $u_i$ der Werte $y_i$ definieren die $n \times n$ Gewichtsmatrix
  \begin{displaymath} 
    \bm{P} =  \left( \begin{array}{llll}
      p_1 & 0 & \cdots & 0\\
      0  & p_2 & \cdots & 0\\
      \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
      0 & 0 & \cdots & p_n\\
    \end{array} \right)
    \mbox{ mit } p_i = \frac{C}{u_i^2}
  \end{displaymath}
  wobei C eine willkürlich festgelegte Konstante ist.
  Durch Anwendung der Gleichungen 12 bis 14 aus \citeasnoun{anmerkungen}
  folgt daraus:
  \begin{displaymath}
    (\bm{A}^T\bm{P}\bm{A})^{-1} = \frac{1}{\sum\limits_{i=1}^n p_i}
    \hspace{5mm}\mbox{und}\hspace{5mm}
    \bm{A}^T\bm{P}\bm{y} = \sum_{i=1}^n y_i\;p_i
  \end{displaymath}
  Damit ergibt sich für den Schätzwert des gewichteten Mittels
  \begin{eqnarray*}
    \widehat{\bm{\theta}} &=& (\bm{A}^T\bm{P}\bm{A})^{-1}\;\bm{A}^T\bm{P}\bm{y}\\
    \widehat{\theta_1} &=& \frac{\sum\limits_{i=1}^n p_i\;y_i}{\sum\limits_{i=1}^n p_i}
    = \frac{\sum\limits_{i=1}^n\frac{y_i}{s_1^2}}{\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{s_i^2}}
  \end{eqnarray*}
  % \citeasnoun{bevington} (Chapter 4 Seite 57 Gleichung.4.17)
  % \citeasnoun{Strutz}(Chapter 2.6.1, Seite 36)
  Mit dem Schätzwert für die Varianz
  \begin{displaymath}
    \widehat{\sigma^2} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\;p_i\;(y_i-\theta_1)^2
  \end{displaymath}
  folgt aus dem linearen Modell für die Varianz des geschätzten Parameters $\theta_1$: 
  \begin{eqnarray*}
    \sigma_{\theta_1}^2 &=& \widehat{\sigma^2}\;(\bm{A}^T\bm{P}\bm{A})^{-1}\\
    &=& \frac{1}{n-1}\;\frac{1}{\sum\limits_{i=1}^n p_i}
    \;\sum\limits_{i=1}^n\;p_i\;(y_i-\theta_1)^2\\
    &=& \frac{1}{n-1}\;\frac{1}{\sum\limits_{i=1}^n\;p_i}
    \;\sum\limits_{i=1}^n\left(p_i\;y_i^2\;-\;2\,p_i\;y_i\,\theta_1\;+\;p_i\;\theta_1^2\right)\\
    &=& \frac{1}{n-1}\;\frac{1}{\sum\limits_{i=1}^n\;p_i}\;\left(\sum\limits_{i=1}^n\;p_i\,y_i^2\;
    -\;2\,\theta_1\,\sum\limits_{i=1}^n\;p_i\,y_i\;
    +\;\theta_1^2\,\sum\limits_{i=1}^n\;p_i\right)\\
    &=& \frac{1}{n-1}\left[\frac{\sum\limits_{i=1}^n\;p_i\,y_i^2}{\sum\limits_{i=1}^n\;p_i}\;
      -\;\theta_1^2\right]
  \end{eqnarray*}
  % \citeasnoun{bevington} (Chapter 4,Seite 58, Gleichung 4.23)
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  angesehen werden. Für den Wert des gewichteten Mittels $\mean{x}_g$ ergibt sich
  daraus der in Gleichung 55 angegebene Ausdruck. Für die Varianz $\sigma_{\mean{x}_g}$
  dieses Wertes folgt aber:
  \begin{displaymath}
    \sigma_{\mean{x}_g} = \frac{1}{n-1}\left[\frac{\sum\limits_{j=1}^n\;p_j\,x_j^2}{\sum\limits_{i=j}^n\;p_j}\;
      -\;\mean{x}_g^2\right]
  \end{displaymath}
  Diese Beziehung findet man auch bei \citeasnoun{bevington} (Chapter 4,
  Seite 58, Gleichung 4.23) für die Varianz des gewichteten Mittels,
  wenn dies mit Hilfe relativer Unsicherheiten berechnet wird. 
  Daraus ergibt sich für die Unsicherheit $u_g$ des gewichteten Mittels
  \begin{displaymath}
    u_g=\pm\,\sqrt{\sigma_{\mean{x}_g}}=\pm\,\sqrt{\frac{1}{n-1}\left[\frac{\sum\limits_{j=1}^n\;p_j\,\mean{x}_j^2}{\sum\limits_{i=j}^n\;p_j}\;
      -\;\mean{x}_g^2\right]}
  \end{displaymath}
  In diesem Ausdruck werden die Abweichungen der einzelnen Werte
  $\mean{x}_j$ vom gemeinsamen Mittelwert $\mean{x}_g$ mit
  berücksichtigt. Wenn der obengenannte Test nicht positiv ausfällt,
  ist der so bestimmte Wert für $u_g$ größer als der nach Gleichung 56
  berechnete. 

\end{itemize}

\newpage

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\newpage
\begin{thebibliography}{00}
\rm \normalsize
  
\harvarditem[Ein\-führungs\-skript]{Ein\-führungs\-skript}{2007}{einfuehrung}
Physikalisches Grundpraktikum: \\ Einführung in die Messung,
Auswertung und Darstellung experimenteller Ergebnisse in der Physik \\
Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät\,I der HUB\\
Institut für Physik {\bf 2007}\\
\htmladdnormallink{\footnotesize
  http://gpr.physik.hu-berlin.de/Skripten/Einfuehrung/PDF-Datei/Einfuehrung.pdf}
  {http://gpr.physik.hu-berlin.de/Skripten/Einfuehrung/PDF-Datei/Einfuehrung.pdf}\\
{\footnotesize abgerufen am 4.1.2016 10:39 Uhr}
\normalsize \rm

\harvarditem[Andrae]{R.\,Andrae u.a., Dos and don`ts of reduced chi-squared}{2010}{ReducedChiSquared}
Ren\`{e} Andrae, Tim Schulze-Hartung, Peter Melchior\\
Dos and don`ts of reduced chi-squared {\bf 2010}\\
\htmladdnormallink{\footnotesize
  https://arxiv.org/pdf/1012.3754v1.pdf}
  {https://arxiv.org/pdf/1012.3754v1.pdf}\\
{\footnotesize abgerufen am 29.11.2017 13:57 Uhr}
\normalsize \rm

\harvarditem[Andrae]{R.\,Andrae, Error estimation in astronomy: A guide}{2010}{ErrorEstimation}
Ren\`{e} Andrae\\
Error estimation in astronomy: A guide {\bf 2010}\\
\htmladdnormallink{\footnotesize
  https://arxiv.org/pdf/1009.2755.pdf}
  { https://arxiv.org/pdf/1009.2755.pdf}\\
{\footnotesize abgerufen am 29.11.2017 14:11 Uhr}
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\harvarditem[Bevington]{P.\,R.\,Bevington, D.\,K.\,Robinson, Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences}
            {2003}{bevington}
  P.R.\,Bevington and D.K.\,Robinson\\
  Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences\\
  McGraw-Hill Book Co., New York, 3.\,edition {\bf 2003}
\normalsize \rm

\harvarditem[Hogg]{D.\,W.\,Hogg u.a., Data analysis recipes: Fitting a model to data}{2010}{Hogg} 
  David W. Hogg, Jo Bovy, Dustin Lang\\
  Data analysis recipes: Fitting a model to data {\bf 2010}\\
  \htmladdnormallink{\footnotesize
    https://arxiv.org/pdf/1008.4686.pdf}
                    {https://arxiv.org/pdf/1008.4686.pdf}\\
                    {\footnotesize abgerufen am 30.11.2017 17:29 Uhr}
\normalsize \rm

\harvarditem[James]{F.\,James, Statistical Methods in Experimental Physics 2nd Edition}{2006}{James}
  Frederick James\\
  Statistical Methods in Experimental Physics\\
  World Scientific Publishing, 2.\,edition {\bf 2006}
\normalsize \rm
  
\harvarditem[Martin]{B.\,R.\,Martin, Statistics for Physical Sciences: An Introduction}{2012}{Martin}
  Brain R. Martin\\
  Statistics for Physical Sciences: An Introduction\\
  ELsevier {\bf 2012}
\normalsize \rm
  
\harvarditem[Schäfer]{P.\,Schäfer, Einige Anmerkungen zur Methode der linearen Regression}
            {2016}{anmerkungen}
Peter Schäfer\\ 
Rechnet QtiPlot falsch ?\\
Einige Anmerkungen zur Methode der linearen Regression\\
Institut für Physik {\bf 2016}\\
\htmladdnormallink{\footnotesize
  http://roe10.physik.hu-berlin.de/Grundpraktikum/Rechnet\_QtiPlot\_falsch/index.html}
 {http://roe10.physik.hu-berlin.de/Grundpraktikum/Rechnet\_QtiPlot\_falsch/index.html}
\normalsize \rm                  

\harvarditem[Strutz]{T.\,Strutz, Data Fitting and Uncertainty}{2016}{Strutz}
Tilo Strutz\\
Data Fitting and Uncertainty\\
A practical introduction to weighted least squares and beyond\\
Springer Vieweg {\bf 2016}
\normalsize \rm

\end{thebibliography}

\end{document}
