... Modells1
Zum allgemeinen linearen Modell siehe: Schäfer (2016).
Um das gewichtete Mittel über den Vektor

$\displaystyle \bm{y} = \left( \begin{array}{l} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \\ \end{array} \right) $

zu bestimmen, stellt man ein allgemeines lineares Modell mit nur einem Parameter $ \theta_1$

$\displaystyle \bm{\theta} = \left( \begin{array}{l} \theta_1\\ \end{array}\right) $

und der der $ n \times 1$ Design-Matrix

$\displaystyle \bm{A}=\left( \begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \\ \end{array} \right) $

auf. Die Unsicherheiten $ u_i$ der Werte $ y_i$ definieren die $ n \times n$ Gewichtsmatrix

$\displaystyle \bm{P} = \left( \begin{array}{llll} p_1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 &... ...ts & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & p_n\\ \end{array} \right)$    mit $\displaystyle p_i = \frac{C}{u_i^2} $

wobei C eine willkürlich festgelegte Konstante ist. Durch Anwendung der Gleichungen 12 bis 14 aus Schäfer (2016) folgt daraus:

$\displaystyle (\bm{A}^T\bm{P}\bm{A})^{-1} = \frac{1}{\sum\limits_{i=1}^n p_i}$   und$\displaystyle \hspace{5mm} \bm{A}^T\bm{P}\bm{y} = \sum_{i=1}^n y_i\;p_i $

Damit ergibt sich für den Schätzwert des gewichteten Mittels
$\displaystyle \widehat{\bm{\theta}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (\bm{A}^T\bm{P}\bm{A})^{-1}\;\bm{A}^T\bm{P}\bm{y}$  
$\displaystyle \widehat{\theta_1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sum\limits_{i=1}^n p_i\;y_i}{\sum\limits_{i=1}^n p_i} = \frac{\sum\limits_{i=1}^n\frac{y_i}{s_1^2}}{\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{s_i^2}}$  

Mit dem Schätzwert für die Varianz

$\displaystyle \widehat{\sigma^2} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\;p_i\;(y_i-\theta_1)^2 $

folgt aus dem linearen Modell für die Varianz des geschätzten Parameters $ \theta_1$:
$\displaystyle \sigma_{\theta_1}^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \widehat{\sigma^2}\;(\bm{A}^T\bm{P}\bm{A})^{-1}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{n-1}\;\frac{1}{\sum\limits_{i=1}^n p_i} \;\sum\limits_{i=1}^n\;p_i\;(y_i-\theta_1)^2$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{n-1}\;\frac{1}{\sum\limits_{i=1}^n\;p_i} \;\sum\limits_{i=1}^n\left(p_i\;y_i^2\;-\;2\,p_i\;y_i\,\theta_1\;+\;p_i\;\theta_1^2\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{n-1}\;\frac{1}{\sum\limits_{i=1}^n\;p_i}\;\left(\sum\lim... ...,\sum\limits_{i=1}^n\;p_i\,y_i\; +\;\theta_1^2\,\sum\limits_{i=1}^n\;p_i\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{n-1}\left[\frac{\sum\limits_{i=1}^n\;p_i\,y_i^2}{\sum\limits_{i=1}^n\;p_i}\; -\;\theta_1^2\right]$  

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